هل عملية الضرب عملية ابدالية ام جمع متكرر ؟

مفهوم الضرب

الضرب والجمع هي العمليات الحسابية الأساسية والجمع المتكرر هو جمع أرقام متساوية معًا ، لذلك قد يُعرف الجمع المتكرر أيضًا باسم الضرب ، والسبب هو أنه إذا تكرر نفس الرقم يمكننا كتابته كضرب.

على سبيل المثال: 2 + 2 + 2 + 2 + 2

هنا 2 مكرر 5 مرات ، إذن يمكننا كتابة هذه الجمع 5 × 2.

وبالمثل ، لحل عملية الضرب من خلال عملية الجمع المتكررة ، نضيف العدد بشكل متكرر ونضيف العدد نفسه مرات ومرات لإيجاد الإجابة.

فيما يلي بعض الأمثلة على صيغ الجمع المتكررة:

  • 3 + 3 + 3 = 9 ، 3 × 3 = 9
  • 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ، 2 × 4 = 8
  • 4 + 4 + 4 = 12 ، 4 × 3 = 12
  • 5 + 5 + 5 + 5 = 20 ، 5 × 4 = 20

الجمع المتكرر مفيد أيضًا في تعلم حقائق الضرب ، على سبيل المثال إذا كان الشخص لا يعرف نتيجة الضرب 7 × 3 فقد يجد أنه من الأسهل حساب 7 × 3 بكتابة 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 أو 7 + 7 + 7 الجواب هو نفسه.

يمكن أن يكون مفيدًا أيضًا للأعداد الكبيرة مثل 5 × 40 ، سيكون من السهل كتابة 40 + 40 + 40 + 40 + 40 ثم إضافة العشرات.

هل الضرب تبادلي؟

تتعامل الخاصية التبادلية مع العمليات الحسابية للجمع والضرب ، مما يعني أن تغيير ترتيب أو موضع الأرقام أثناء الجمع أو الضرب لا يغير النتيجة النهائية.

على سبيل المثال ، 4 + 5 يعطي 9 ، و 5 + 4 يعطي 9.

لا يؤثر ترتيب الأرقام المضافة على المجموع ، ونفس المفهوم ينطبق على الضرب أيضًا ، لكن الخاصية التبادلية لا تنطبق على الطرح والقسمة ، لأن النتائج النهائية تختلف تمامًا في تغيير ترتيب الأرقام.

ما نعنيه في معنى التبادل هو التنقل ، ثم تتعامل الخاصية التبادلية مع الأرقام المتحركة والمتحركة ، لذلك من وجهة النظر الرياضية إذا كان تغيير ترتيب المعاملات لا يغير نتيجة الحساب ، فإن هذه العملية الحسابية الخاصة العملية تبادلي. بصرف النظر عن هذا ، هناك خصائص أخرى للأرقام مثل الخاصية الترابطية ، الخاصية التوزيعية ، والتي تختلف عن الخاصية التبادلية للأرقام.

تقول الخاصية التبادلية للجمع أن تغيير ترتيب الإضافات لا يغير قيمة المجموع ، وهناك حالات نحتاج فيها إلى إضافة أكثر من رقمين.

تكون الخاصية التبادلية صحيحة حتى إذا تمت إضافة أكثر من رقمين ، على سبيل المثال:

  • 10 + 20 + 30 + 40 = 100
  • 40 + 30 + 20 + 10 = أيضًا 100.

المجموع هو 100 في كلتا الحالتين حتى عند تغيير ترتيب الأرقام ، أي إذا كان “أ” و “ب” رقمين ، فيمكن تمثيل الخاصية التبادلية للأرقام.

هل الضرب إضافة متكررة؟

قد تبدو الإجابة واضحة بالنسبة لك ، لكنها مسألة تدور حول نقاش ساخن داخل تعليم الرياضيات حول ما إذا كان هذا صحيحًا وكيف ينبغي تدريسه.
في الختام ، لا يعني مجرد وجود عمليتين لهما نفس النتائج أنه يمكننا استنتاج أنهما نفس العملية ، أي أن هذا الادعاء الرئيسي هو أن عمليات الضرب والجمع مختلفة اختلافًا جوهريًا ، ولكنها مرتبطة ببعضها البعض ، على الأرقام .
الإضافة هي عملية تتوافق مع التكامل في العالم الحقيقي ، بينما الضرب هو عملية تتوافق مع مقياس.
يود مؤيدو هذا الرأي المطالبة بالضرب لإعطاء الإجابة الصحيحة على الإضافة المتكررة كأداة مفيدة ، لكنهم يجدون أنه من الخطأ تعريف الضرب على أنه جمع متكرر.
وجهة نظر أخرى هي أن هذا ليس صحيحًا. الجمع والضرب المتكرر لا يحدث فقط للحصول على نفس الإجابة ، بل تظهر نفس النتيجة لأنها في الواقع هي نفسها.

لدينا هاتان العمليتان على الأعداد الصحيحة:

  • الجمع 3 + 2 = 5
  • عملية الضرب 3 × 2 = 6. [2]

في أوقات أخرى ، تُفهم الإضافة المتكررة على أنها طريقة لتعليم الضرب عن طريق تغيير المجاميع إلى مجموعة متكررة من الإضافات.

أي ، بكل بساطة ، إذا اعتبرنا أن الجمع المتكرر هو جمع مجموعات من الأرقام معًا عدة مرات ، فهو نوع من الضرب ، والذي يستخدم لتعليم الأطفال آلية الضرب.

على سبيل المثال ، قد يرغب المعلم في مساعدة الطفل في العثور على الإجابة “4 × 4”.

بدلاً من الاعتماد على جداول الضرب ، سيطلبون من الطالب بدلاً من ذلك 4 مجموعات من 4.

يمكن للطفل بعد ذلك كتابة المجموع كـ “4 + 4 + 4 + 4” ، وهو جمع متكرر.

يمكننا أن نرى نفس الشيء مرة أخرى مع “5×2”.

إذا كتبناها بدلاً من ذلك كـ “5 + 5” أو “2 + 2 + 2 + 2 + 2 ، أو إذا أضفنا خمسة مرتين ، أو جمعنا اثنين معًا خمس مرات ، فإن الإجابة هي عشرة ، نحصل على نفس الإجابة.

طريقة الضرب

عندما نتعلم كيفية الضرب ، نتعلم تقسيم المعادلة إلى أجزاء ، أولاً نجد حاصل الضرب باستخدام القيمة المكانية للآحاد ، ثم ننتقل إلى الكسر العشري ، متبوعًا بالمئات.

وفي النهاية نلخص كل شيء ونحصل على إجابتنا ، هذه الطريقة تعمل بشكل رائع ولكنها ليست دائمًا الأكثر فاعلية ، إليك بعض الطرق الأخرى التي يمكنها تسريع العملية.
في هذه الأمثلة ، أستخدم أرقامًا مكونة من 2 و 3 أرقام ، وهذه الطرق تعمل أيضًا مع أعداد أكبر ، وهي:

  • طريقة الشبكة

في ذلك ، سترسم شبكة وتقسم كل مربع بخط قطري ، ثم تكتب رقمًا على طول الجزء العلوي وآخر على اليمين ، برقم واحد في كل عمود أو صف.

  • طريقة خطية

تعمل هذه الطريقة جيدًا مع الأعداد المكونة من 2 و 3 أرقام عندما تكون الأرقام صغيرة ، ويمكن أن تصبح معقدة بعض الشيء عندما يكون لديك العديد من الخطوط المتقاطعة.
ارسم سلسلة من الخطوط المتوازية التي تمثل كل رقم من الرقم الأول ، يجب أن تكون الخطوط بزاوية 45 درجة تقريبًا مع وجود فجوة بين كل رقم.

خصائص الضرب

هناك عدد من الخصائص التي تنطبق على الضرب ، منها:

  • خاصية الفاصل

تنص الخاصية التبادلية للضرب على أن الإجابة تظل كما هي عند ضرب الأرقام ، حتى لو تم تغيير ترتيب الأرقام ، وتغيير ترتيب الضرب لا يغير النتيجة.

على سبيل المثال ، دعنا نفكر في العددين 3 و 5.

عندما نضرب 3 أسهم في 5 ، نحصل على 3 × 5 = 15

  • خاصية الاستبدال في الضرب

الآن عندما نعكس ترتيب الضرب ، نحصل على 5 مجموعات من 3

أي 5 × 3 = 15

الخاصية التبادلية للضرب هي 2

نظرًا لأن الإجابة هي نفسها في كلتا الحالتين ، فيمكننا القول إن عملية الضرب تبادلية.

  • ميزة التجميع

ما تقوله الخاصية الترابطية لعملية الضرب هو أننا إذا ضربنا أي ثلاثة أرقام معًا ، فسيظل الناتج أو الناتج هو نفسه دائمًا بغض النظر عن الترتيب الذي نضرب فيه الأرقام.

على سبيل المثال: لنفكر في أي ثلاثة أعداد ، لنقل 2 و 3 و 4 وضربهم.

  1. الحالة الأولى: يمكننا تجميع الأرقام على أنها 2 × (3 × 4)
    ستكون إجابتنا: 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
  2. الحالة الثانية: يمكننا تجميع الأرقام على أنها (2 × 3) × 4
    ثم ستكون إجابتنا: (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

الخاصية الترابطية للضرب في 2

كما هو الحال في كلتا الحالتين ، فإن الإجابة التي نحصل عليها هي نفسها ، بغض النظر عن الترتيب الذي يتم به ضرب الأرقام. ومن ثم ، فإن الضرب هو ترابطي.

  • خاصية التوزيع الضرب

تنص الخاصية التوزيعية للضرب على أنه يمكن توزيع الضرب على الجمع والطرح.

تساعدنا هذه الميزة في حل الأسئلة الموضوعة بين قوسين ، كما أنها تسرع حساباتنا الذهنية.

على سبيل المثال ، دعنا نفكر في الحساب 2 × (3 + 1)

الحالة الأولى إذا أضفنا أولاً:

ثم ستكون إجابتنا: 2 × (3 + 1) = 2 × 4 = 8

في الحالة الثانية ، إذا وزعنا الضرب على الجمع ، فسيكون حاصل الضرب:

2 × (3 + 1) = 2 × 3 + 2 × 1 = 6 + 2 = 8

كما في كلتا الحالتين ، فإن الإجابة التي نحصل عليها هي نفسها ، وبالتالي فإن الضرب يكون توزيعيًا.

  • خاصية هوية الضرب

تنص خاصية هوية الضرب على أنه إذا قمت بضرب أي رقم في 1 ، فستكون الإجابة دائمًا هي نفس الرقم.

على سبيل المثال ، لنفكر في أي رقم ونضربه في 1.

  • 3 × 1 = 3
  • 7 × 1 = 7 [4]